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5 संबंधों: फ़ूर्ये श्रेणी, रमण प्रभाव, लाप्लास रूपान्तर, लजान्द्र रूपान्तर, जोसेफ फ़ूर्ये।
फ़ूर्ये श्रेणी
फूर्ये श्रेणी के आरम्भिक एक, दो, तीन या चार पदों द्वारा वर्ग तरंग फलन (square wave function) का सन्निकटीकरण (approximation)। अधिक पद जोड़ने पर प्राप्त ग्राफ, वर्ग-तरंग के ग्राफ के अधिकाधिक निकट दिखने लगता है। गणित में फूर्ये श्रेणी (Fourier series) एक ऐसी अनन्त श्रेणी है जो f आवृत्ति वाले किसी आवर्ती फलन (periodic function) को f, 2f, 3f, आदि आवृत्तियों वाले ज्या और कोज्या फलनों के योग के रूप में प्रस्तुत करती है। इसका प्रयोगे सबसे पहले जोसेफ फ़ूर्ये (१७६८ - १८३०) ने धातु की प्लेटों में उष्मा प्रवाह एवं तापमान की गणना के लिये किया था। किन्तु बाद में इसका उपयोग अनेकानेक क्षेत्रों में हुआ और यह विश्लेषण का एक क्रान्तिकारी औजार साबित हुआ। इसकी सहायता से कठिन से कठिन फलन भी ज्या और कोज्या फलनों के योग के रूप में प्रकट किये जाते हैं जिससे इनसे सम्बन्धित गणितीय विश्लेषण अत्यन्त सरल हो जाते हैं। .
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रमण प्रभाव
रमण प्रकीर्णन या रमण प्रभाव फोटोन कणों के लचीले वितरण के बारे में है। इसकी खोज प्रसिद्ध भारतीय वैज्ञानिक श्री सी वी रमन ने की थी। रमन प्रभाव के अनुसार, जब कोई एकवर्णी प्रकाश द्रवों और ठोसों से होकर गुजरता है तो उसमें आपतित प्रकाश के साथ अत्यल्प तीव्रता का कुछ अन्य वर्णों का प्रकाश देखने में आता है। 1930 में भौतिकी का नोबेल पुरस्कार चन्द्रशेखर वेंकटरमन को उनके इस खोज के लिए प्रदान किया गया था। रमन की पूरी शिक्षा-दीक्षा भारत में ही हुई। स्वयं २०० रु.
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लाप्लास रूपान्तर
लाप्लास रूपान्तर (Laplace transform) एक प्रकार का समाकल रूपान्तर (integral transform) है। यह भौतिकी एवं इंजीनियरी के अनेकानेक क्षेत्रों में प्रयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए परिपथ विश्लेषण में। इसको \displaystyle\mathcal \left\ से निरूपित करते हैं। यह एक रैखिक संक्रिया है जो वास्तविक अर्गुमेन्ट t (t ≥ 0) वाले फलन f(t) को समिश्र अर्गुमेन्ट वाले फलन F(s) में बदल देता है। लाप्लास रूपान्तर, प्रसिद्ध गणितज्ञ खगोलविद पिएर सिमों लाप्लास के नाम पर रखा गया है। लाप्लास रूपान्तर का उपयोग अवकल समीकरण तथा समाकल समीकरण (इंटीग्रल इक्वेशन) हल करने में किया जाता है। .
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लजान्द्र रूपान्तर
लजान्द्र रूपान्तर की ज्यामितीय व्याख्या गणित में किसी वास्तविक मान वाले, तथा सभी बिन्दुओं पर अवकलनीय फलन f तथा g में निम्नलिखित सम्बन्ध हो तो g को f का लजान्द्र रूपान्तर (LegendreTransform) कहा जाता है। इस रूपान्तर का नाम फ्रांसीसी गणितज्ञ आद्रियें मारि लजान्द्र (Adrien-Marie Legendre) के नाम पर पड़ा है। जहाँ D, अवकलज (डिफरेंशियल) का प्रतीक है तथा दाहिनी ओर आने वाला -1, प्रतिलोम फलन को सूचित कर रहा है। यह आसानी से दिखाया जा सकता है कि g, f का लजान्द्र रूपान्तर हो तो f, g का लजान्द्र रूपान्तर होगा उदाहरण के लिये, फलन f(x).
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जोसेफ फ़ूर्ये
जोसेफ फूर्ये जोसेफ फ़ूर्ये (Fourier, Joseph, 1768-1830 ई.) फ्रांसीसी गणितज्ञ थे। उनका जन्म ओक्सैर में हुआ। आठ वर्ष की उम्र में ही ये अनाथ हो गए थे, परंतु सौभाग्यवश अपने हितैषियों की सहायता से इन्हें एक सैनिक स्कूल में प्रवेश मिल गया, जहाँ इन्होंने गणित के अध्ययन में आशातीत सफलता प्राप्त की और शीघ्र ही एक सैनिक स्कूल में गणित के प्रोफेसर हो गए। फ्रांस की क्रांति में इन्होंने सक्रिय भाग लिया और मिस्र पर आक्रमण में भी नेपोलियन के साथ गए। तदुपरांत इन्होंने पिंडों में ताप के विस्तार पर सफल शोथ किए, जिनका वर्णन इनकी प्रसिद्ध पुस्तक 'ला थेओरि अनालितिक द ला शालर' (La Theorie Analytique de la Chaleur) में है।गणितीय भौतिक शास्त्र के निर्धारित सीमांत के मानवाले निर्मेयों के (जिनमें आंशिक अवकल समीकरण के अनुकलन की आवश्यकता हो) हल की आधुनिक विधियों के लिए, यह मूल पुस्तक है। इसमें प्रसिद्ध 'फूर्ये श्रेणी' (Fourier series) का भी वर्णन है। 'संख्यात्मक समीकरण के विश्लेषण' पर भी इन्होंने महत्वपूर्ण शोध किए। .
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