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6 संबंधों: श्रेणी (गणित), हरात्मक श्रेणी, गणित, कौशी अभिसरण परीक्षण, अभिसरण परीक्षण, अभिसारी श्रेणी।
श्रेणी (गणित)
गणित में किसी अनुक्रम के जोड़ को सीरीज कहा जाता है। उदाहरण के लिए, कोई श्रेणी सीमित (लिमिटेड) हो सकती है या अनन्त (इनफाइनाइट)। .
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हरात्मक श्रेणी
गणित में हरात्मक श्रेणी अपसारी अनन्त श्रेणी है: इसका नामकरण समान्तर श्रेणी के व्युत्क्रम से हुआ है। समान्तर श्रेणी के पदों को यहां हर में लिखा जाता है अर्थात समान्तर श्रेणी के पद a_i से सम्बंधित हरात्मक श्रेणी का पद \frac है। अंग्रेजी में इसे हार्मोनिक श्रेणी कहते हैं जिसकी अवधारणा संगीत की धुन से हुआ। एक कम्पनशील तंतु से निकलने वाल अधिस्वरक (धुन) 1/2, 1/3, 1/4, आदि, तंतु की मूलभूत तरंगदैर्घ्य हैं। प्रथम पद के बाद श्रेणी का प्रत्येक पद अपने पास वाले पदों का हरात्मक माध्य होता है। .
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गणित
पुणे में आर्यभट की मूर्ति ४७६-५५० गणित ऐसी विद्याओं का समूह है जो संख्याओं, मात्राओं, परिमाणों, रूपों और उनके आपसी रिश्तों, गुण, स्वभाव इत्यादि का अध्ययन करती हैं। गणित एक अमूर्त या निराकार (abstract) और निगमनात्मक प्रणाली है। गणित की कई शाखाएँ हैं: अंकगणित, रेखागणित, त्रिकोणमिति, सांख्यिकी, बीजगणित, कलन, इत्यादि। गणित में अभ्यस्त व्यक्ति या खोज करने वाले वैज्ञानिक को गणितज्ञ कहते हैं। बीसवीं शताब्दी के प्रख्यात ब्रिटिश गणितज्ञ और दार्शनिक बर्टेंड रसेल के अनुसार ‘‘गणित को एक ऐसे विषय के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जिसमें हम जानते ही नहीं कि हम क्या कह रहे हैं, न ही हमें यह पता होता है कि जो हम कह रहे हैं वह सत्य भी है या नहीं।’’ गणित कुछ अमूर्त धारणाओं एवं नियमों का संकलन मात्र ही नहीं है, बल्कि दैनंदिन जीवन का मूलाधार है। .
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कौशी अभिसरण परीक्षण
कौशी अभिसरण परीक्षण किसी अनन्त श्रेणी के अभिसरण के परीक्षण के लिए काम में लिया जाता है। एक श्रेणी सभी ai वास्तविक अथवा सम्मिश्र के लिए यह योग के लिए अभिसारी है यदि और केवल यदि ∀ \varepsilon>0 एक प्राकृतिक संख्या N इस प्रकार है कि ∀ और.
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अभिसरण परीक्षण
गणित में अनन्त श्रेणियों के अभिसरण की जाँच करने वाली विधियों को अभिसरण परीक्षण (convergence tests) कहते हैं। ये विधियाँ सशर्त अभिसरण (conditional convergence), निरपेक्ष अभिसरण (absolute convergence), अभिसरण के अन्तराल (interval of convergence) या अपसरण (divergence) की जाँच करतीं हैं। S के लिए निश्चित व्यंजक ज्ञात करना सदैव सरल नहीं है। अत: हम यह जानने के लिए कि कोई विशिष्ट श्रेणी अभिसारी है या नहीं, अभिसारी और अपसारी की परीक्षाविधियों का प्रयोग करते हैं। यदि कोई श्रेणी केवल धनात्मक पदों से बनी है, तो किसी पद के उपरांत एक वृद्धिमय अनुक्रम होगा और ऐसे वृद्धिमय अनुक्रम के अभिसरण के लिए आवश्यक और पर्याप्त अनुबंध यह है कि यह परिमित हो, अर्थात् एक ऐसी अचर राशि K का अस्तित्व हो कि n के समस्त मानों के लिए Sn \left \ के पदों की अन्य अनुक्रम \left \ के पदों से तुलना की जाती है। यदि, n के सब मानों के लिये, 0 \le \ a_n \le \ b_n, तथा \sum_^\infty b_n अभिसारी हो तो \sum_^\infty a_n भी अभिसारी होगी। किन्तु, यदि, n के सब मानों के लिये, 0 \le \ a_n \le \ b_n, तथा \sum_^\infty a_n अपसारी है, तो \sum_^\infty b_n भी अपसारी होगी। .
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अभिसारी श्रेणी
गणित में संख्याओं के किसी अनुक्रम (सेक्वेंस) के योग को श्रेणी (सिरीज़/series) कहते हैं। यदि पदों की संख्या अपरिमित हो, तो इस श्रेणी को अनंत श्रेणी कहते हैं। यदि दिया हुआ अनुक्रम \left \ है तो, अनुक्रम के पहले n पदों के योग S_n को nवाँ आंशिक योग (partial sum) कहते हैं। अर्थात् कोई श्रेणी अभिसारी (convergent) तब कहलाती है जब इसके आंशिक योगों का अनुक्रम \left \ अभिसारी हो। जब कोई श्रेणी अभिसारी नहीं होती तो उसे अपसारी (divergent) कहते हैं। .
