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4 संबंधों: त्रिभुज, त्रिकोणमिति, पाइथागोरस प्रमेय, ज्या नियम।
त्रिभुज
त्रिभुज (Triangle), तीन शीर्षों और तीन भुजाओं वाला एक बहुभुज (Polygon) होता है। यह ज्यामिति की मूल आकृतियों में से एक है। शीर्षों A, B, और C वाले त्रिभुज को \triangle ABC द्वारा दर्शाया जाता है। यूक्लिडियन ज्यामिति में कोई भी तीन असंरेखीय बिन्दु, एक अद्वितीय त्रिभुज का निर्धारण करते हैं और साथ ही, एक अद्वितीय तल (यानी एक द्वि-विमीय यूक्लिडियन समतल) का भी। दूसरे शब्दों में, तीन सरल रेखाओं से घिरी बंद आकृति को त्रिभुज या त्रिकोण कहते हैं। त्रिभुज में तीन भुजाएं और तीन कोण होते हैं। त्रिभुज सबसे कम भुजाओं वाला बहुभुज है। किसी त्रिभुज के तीनों आन्तरिक कोणों का योग सदैव 180° होता है। इन भुजाओं और कोणों के माप के आधार पर त्रिभुज का विभिन्न प्रकार से वर्गीकरण किया जाता है। .
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त्रिकोणमिति
किसी दूरस्थ और सीधे मापन में कठिनाई वाले सर्वेक्षण के लिए समरूप त्रिभुज के उपयोग का उदाहरण (1667) त्रिकोणमिति गणित की वह शाखा है जिसमें त्रिभुज और त्रिभुजों से बनने वाले बहुभुजों का अध्ययन होता है। त्रिकोणमिति का शब्दिक अर्थ है 'त्रिभुज का मापन'। त्रिकोणमिति में सबसे अधिक महत्वपूर्ण है समकोण त्रिभुज का अध्ययन। त्रिभुजों और बहुभुजों की भुजाओं की लम्बाई और दो भुजाओं के बीच के कोणों का अध्ययन करने का मुख्य आधार यह है कि समकोण त्रिभुज की किन्ही दो भुजाओं (आधार, लम्ब व कर्ण) का अनुपात उस त्रिभुज के कोणों के मान पर निर्भर करता है। त्रिकोणमिति का ज्यामिति की प्रसिद्ध बौधायन प्रमेय (पाइथागोरस प्रमेय) से गहरा सम्बन्ध है। .
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पाइथागोरस प्रमेय
'''बौधायन का प्रमेय''': समकोण त्रिभुज की दो भुजाओं की लम्बाइयों के वर्गों का योग कर्ण की लम्बाई के वर्ग के बराबर होता है। पाइथागोरस प्रमेय (या, बौधायन प्रमेय) यूक्लिडीय ज्यामिति में किसी समकोण त्रिभुज के तीनों भुजाओं के बीच एक सम्बन्ध बताने वाला प्रमेय है। इस प्रमेय को आमतौर पर एक समीकरण के रूप में निम्नलिखित तरीके से अभिव्यक्त किया जाता है- जहाँ c समकोण त्रिभुज के कर्ण की लंबाई है तथा a और b अन्य दो भुजाओं की लम्बाई है। पाइथागोरस यूनान के गणितज्ञ थे। परम्परानुसार उन्हें ही इस प्रमेय की खोज का श्रेय दिया जाता है,हेथ, ग्रंथ I,p.
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ज्या नियम
त्रिभुज जिसमे भुजाएँ एवं कोण नामांकित हैं। त्रिकोणमिति में ज्या नियम या ज्या सूत्र किसी भी त्रिभुज की भुजाओं एवं कोणों के ज्या के बीच संबन्ध बताता है। इसके अनुसार, यहाँ a, b, तथा c त्रिभुज की भुजाओं की लम्बाइयाँ हैं और A, B, तथा Cुन भुजाओं के सामने के कोण हैं। (सामने के चित्र को देखें) वस्तुत: यह सूत्र त्रिभुज से संबन्धित निम्नलिखित ज्यामितीय प्रमेय को संख्यात्मक रूप में व्यक्त करता है- यदि किसी त्रिभुज के दो कोण एवं कोई एक भुजा ज्ञात हो तो इस सूत्र का प्रयोग करके अन्य दो भुजाएँ ज्ञात की जा सकती हैं। इस तकनीक का त्रिकोणीय सर्वेक्षण में बहुत प्रयोग होता है। इस सूत्र का उपयोग तब भी हो सकता है जब दो भुजाएँ एवं उनमें से किसी एक के सामने का कोण ज्ञात हो। इस स्थिति में इस सूत्र से कुछ स्थितियों में दी हुई भुजाओं के बीच के कोण के दो मान प्राप्त होते हैं। .
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