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समूह सिद्धांत

सूची समूह सिद्धांत

कभी-कभी गणित में ऐसी क्रियाएँ भी दृष्टिगोचर होती है जब उनमें से एक एक करके दो क्रियाएँ की जाएँ तो फल वही निकलता है, जो उसी प्रकार की एक ही क्रिया से निकल आता है। तनिक इन चार संख्याओं पर विचार करें: जिन्हें इस प्रकार भी लिख सकते हैं: यदि किसी राशि को इनमें से दूसरी और तीसरी संख्याओं से गुणा करें, तो वही फल निकलेगा तो जो अकेल चौथी संख्या से गुणा करने से निकलता है। इसी प्रकार, यदि उपर्युक्त संख्याओं में से किन्हीं दो से किसी राशि को गुणा करें, तो वही फल निकलता है जो उक्त संख्याओं में से एक ही संख्या से गुणा करने से निकल सकता है। इस प्रकार की क्रियाओं के समुच्चय को बंद समुच्चय कहते हैं और क्रियाओं के इस गुण को समूह गुण कहते हैं।.

5 संबंधों: रमन स्पेक्ट्रमिकी, शैक्षणिक विषयों की सूची, गणित, गणित का इतिहास, क्रमचय

रमन स्पेक्ट्रमिकी

रमन संकेत में शामिल राज्यों को दिखाते हुए ऊर्जा स्तर का आरेखरेखा की मोटाई लगभग विभिन्न संक्रमण से सिग्नल की शक्ति के लिए आनुपातिक है। रमन वर्णक्रमीयता (स्पेक्ट्रोस्कोपी) (सी वी रमन के नाम पर आधारित) एक वर्णक्रमीय (स्पेक्ट्रोस्कोपी) तकनीक है जिसका प्रयोग एक प्रणाली में कंपन, घूर्णन तथा अन्य कम आवृत्ति के प्रकारों के अध्ययन में होता है। यह एक रंग के प्रकाश (मोनोक्रोमेटिक लाईट) के, आम तौर पर इन्फ्रारेड या पराबैंगनी रेंज के पास लेज़र से दिखाई देने वाले अलचकदार स्कैटरिंग (बिखराव) या रमन बिखराव (रमन स्कैटरिंग) पर आधारित है। प्रणाली में लेज़र प्रकाश फ़ोनोन (phonon) या उत्तेज़क कारकों से क्रिया करता है जिसके परिणामस्वरूप लेज़र फोटोन की ऊर्जा ऊपर या नीचे स्थानांतरित होती रहती है। ऊर्जा में बदलाव प्रणाली में फ़ोनोन (phonon) मोड के बारे में जानकारी देता है। इन्फ्रारेड वर्णक्रमीयता (स्पेक्ट्रोस्कोपी) समान तरह की, लेकिन अतिरिक्त सूचना प्रदान करती है। आमतौर पर, एक नमूने को एक लेज़र बीम से प्रकाशित किया जाता है। प्रकाशित बिंदु से रोशनी को एक लेंस के माध्यम से एकत्रित किया जाता है और मोनोक्रोमेटर (monochromator) के माध्यम से भेजा जाता है। रेले बिखराव (रेले स्कैटरिंग) के कारण, लेज़र लाइन के पार की तरंगे छान ली जाती हैं जबकि बची हुई रोशनी को एक डिटेक्टर पर छितराया जाता है। स्वाभाविक रमन बिखराव (रमन स्कैटरिंग) आम तौर पर बहुत कमजोर होता है और इसी कारण रमन वर्णक्रमीयता (स्पेक्ट्रोस्कोपी) में मुख्य कठिनाई प्रचंड रेले स्कैटर्ड लेज़र प्रकाश में से कमज़ोर अलचकदार स्कैटर्ड लेज़र प्रकाश को अलग करना है। ऐतिहासिक रूप से, एक उच्च दर की लेज़र रिजेक्शन को प्राप्त करने के लिए रमन स्पेक्ट्रोमीटर ने होलोग्राफिक (holographic) ग्रेटिंग तथा कई चरणों में फैलाव का प्रयोग किया। अतीत में, रमन फैलाव सेटअप के लिए डिटेक्टर के रूप में फोटोमल्टीप्लायर (photomultiplier) पहली पसंद थे, जो अत्यधिक समय लेते थे। लेकिन, आधुनिक उपकरण लगभग सार्वभौमिक रूप से लेज़र रिजेक्शन तथा स्पेक्ट्रोग्राफ और सीसीडी (CCD) डिटेक्टरों के लिए नॉच (notch) या एज फ़िल्टर (edge filter) (या तो एक्सियल ट्रांसमिसिव (axial transmissive (एटी (AT)), ज़ेर्नी-टर्नर (Czerny-Turner) (सीटी (CT)) मोनोक्रोमेटर या फिर एफटी (FT) (फोरियर ट्रांसफोर्म स्पेक्ट्रोस्कोपी आधारित)), का प्रयोग करते हैं। रमन वर्णक्रमीयता (स्पेक्ट्रोस्कोपी) के कई उन्नत प्रकार हैं, जिसमे सरफेस एन्हैंस्ड रमन (surface-enhanced Raman), टिप एन्हैंस्ड रमन (tip-enhanced Raman), पोलराइज्ड रमन (polarised Raman), स्टिमुलेटेड रमन (stimulated Raman) (स्टिमुलेटेड उत्सर्जन की तरह), ट्रांसमिशन रमन (transmission Raman), स्पैटियली-ऑफ़सेट रमन (spatially-offset Raman) और हायपर रमन (hyper Raman) शामिल हैं। .

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शैक्षणिक विषयों की सूची

यहाँ शैक्षणिक विषय (academic discipline) से मतलब ज्ञान की किसी शाखा से है जिसका अध्ययन महाविद्यालय स्तर या विश्वविद्यालय स्तर पर किया जाता है या जिन पर शोध कार्य किया जाता है। .

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गणित

पुणे में आर्यभट की मूर्ति ४७६-५५० गणित ऐसी विद्याओं का समूह है जो संख्याओं, मात्राओं, परिमाणों, रूपों और उनके आपसी रिश्तों, गुण, स्वभाव इत्यादि का अध्ययन करती हैं। गणित एक अमूर्त या निराकार (abstract) और निगमनात्मक प्रणाली है। गणित की कई शाखाएँ हैं: अंकगणित, रेखागणित, त्रिकोणमिति, सांख्यिकी, बीजगणित, कलन, इत्यादि। गणित में अभ्यस्त व्यक्ति या खोज करने वाले वैज्ञानिक को गणितज्ञ कहते हैं। बीसवीं शताब्दी के प्रख्यात ब्रिटिश गणितज्ञ और दार्शनिक बर्टेंड रसेल के अनुसार ‘‘गणित को एक ऐसे विषय के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जिसमें हम जानते ही नहीं कि हम क्या कह रहे हैं, न ही हमें यह पता होता है कि जो हम कह रहे हैं वह सत्य भी है या नहीं।’’ गणित कुछ अमूर्त धारणाओं एवं नियमों का संकलन मात्र ही नहीं है, बल्कि दैनंदिन जीवन का मूलाधार है। .

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गणित का इतिहास

ब्राह्मी अंक, पहली शताब्दी के आसपास अध्ययन का क्षेत्र जो गणित के इतिहास के रूप में जाना जाता है, प्रारंभिक रूप से गणित में अविष्कारों की उत्पत्ति में एक जांच है और कुछ हद तक, अतीत के अंकन और गणितीय विधियों की एक जांच है। आधुनिक युग और ज्ञान के विश्व स्तरीय प्रसार से पहले, कुछ ही स्थलों में नए गणितीय विकास के लिखित उदाहरण प्रकाश में आये हैं। सबसे प्राचीन उपलब्ध गणितीय ग्रन्थ हैं, प्लिमपटन ३२२ (Plimpton 322)(बेबीलोन का गणित (Babylonian mathematics) सी.१९०० ई.पू.) मास्को गणितीय पेपाइरस (Moscow Mathematical Papyrus)(इजिप्ट का गणित (Egyptian mathematics) सी.१८५० ई.पू.) रहिंद गणितीय पेपाइरस (Rhind Mathematical Papyrus)(इजिप्ट का गणित सी.१६५० ई.पू.) और शुल्बा के सूत्र (Shulba Sutras)(भारतीय गणित सी. ८०० ई.पू.)। ये सभी ग्रन्थ तथाकथित पाईथोगोरस की प्रमेय (Pythagorean theorem) से सम्बंधित हैं, जो मूल अंकगणितीय और ज्यामिति के बाद गणितीय विकास में सबसे प्राचीन और व्यापक प्रतीत होती है। बाद में ग्रीक और हेल्लेनिस्टिक गणित (Greek and Hellenistic mathematics) में इजिप्त और बेबीलोन के गणित का विकास हुआ, जिसने विधियों को परिष्कृत किया (विशेष रूप से प्रमाणों (mathematical rigor) में गणितीय निठरता (proofs) का परिचय) और गणित को विषय के रूप में विस्तृत किया। इसी क्रम में, इस्लामी गणित (Islamic mathematics) ने गणित का विकास और विस्तार किया जो इन प्राचीन सभ्यताओं में ज्ञात थी। फिर गणित पर कई ग्रीक और अरबी ग्रंथों कालैटिन में अनुवाद (translated into Latin) किया गया, जिसके परिणाम स्वरुप मध्यकालीन यूरोप (medieval Europe) में गणित का आगे विकास हुआ। प्राचीन काल से मध्य युग (Middle Ages) के दौरान, गणितीय रचनात्मकता के अचानक उत्पन्न होने के कारण सदियों में ठहराव आ गया। १६ वीं शताब्दी में, इटली में पुनर् जागरण की शुरुआत में, नए गणितीय विकास हुए.

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क्रमचय

गणित में, क्रमचय (परमुटेशन) की संकल्पना को सूक्ष्म रूप से विभिन्न अर्थों में प्रयोग किया जाता है, सभी अर्थ वस्तुओं या मूल्य के क्रमपरिवर्तन (क्रमबद्ध रूप से पुनर्व्यवस्थित करना) की कार्रवाई से संबंधित हैं। अनौपचारिक रूप से, कुछ मानों (values) के एक सेट को विशेष क्रम में व्यवस्थित करना क्रमचय है। इस प्रकार सेट (1, 2, 3) के छह क्रमचय हैं अर्थात्,,,, और.

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